[백준] 2098 외판원 순회 - DP 활용

문제

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외판원 순회 문제는 영어로 Traveling Salesman problem (TSP) 라고 불리는 문제로 computer science 분야에서 가장 중요하게 취급되는 문제 중 하나이다. 여러 가지 변종 문제가 있으나, 여기서는 가장 일반적인 형태의 문제를 살펴보자.

1번부터 N번까지 번호가 매겨져 있는 도시들이 있고, 도시들 사이에는 길이 있다. (길이 없을 수도 있다) 이제 한 외판원이 어느 한 도시에서 출발해 N개의 도시를 모두 거쳐 다시 원래의 도시로 돌아오는 순회 여행 경로를 계획하려고 한다. 단, 한 번 갔던 도시로는 다시 갈 수 없다. (맨 마지막에 여행을 출발했던 도시로 돌아오는 것은 예외) 이런 여행 경로는 여러 가지가 있을 수 있는데, 가장 적은 비용을 들이는 여행 계획을 세우고자 한다.

각 도시간에 이동하는데 드는 비용은 행렬 W[i][j]형태로 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 도시 j로 가기 위한 비용을 나타낸다. 비용은 대칭적이지 않다. 즉, W[i][j] 는 W[j][i]와 다를 수 있다. 모든 도시간의 비용은 양의 정수이다. W[i][i]는 항상 0이다. 경우에 따라서 도시 i에서 도시 j로 갈 수 없는 경우도 있으며 이럴 경우 W[i][j]=0이라고 하자.

N과 비용 행렬이 주어졌을 때, 가장 적은 비용을 들이는 외판원의 순회 여행 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오.

 

 

풀이

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문제를 푸는 전체적인 틀은 DP(동적 프로그래밍)이다.

 

하지만, 이를 정렬할 때 메모리 사용량을 최소화 하기위해 비트마스킹을 이용한다.

 

예제를 예를들면

0, 1, 2, 3 의 외판원이 있고 0 에서 출발하여 0으로 돌아올 경우 최소 값을 구하면 된다.

 

이 때 DFS 를 이용하여 전체 순열을 구해 확인할 수 있다 하지만 이럴경우 시간 초과가 날 수 있다.

 

dp[0][1(2)] 은 0번을 들린적이 있고 0번 노드에 있다는 뜻이다.

dp[1][11(2)] 은 0번 과 1번노드를 들렸고 1번 노드에 있다는 뜻이다.

dp[1][111(2)] 은 0, 1, 2 번 노드를 들렸고, 1번 노드에 있다는 듯이다.

 

이와 같이 들린 노드의 번호는 비트마스킹을 이용하여 표기하였다.

 

DFS를 이용하여 2차원 DP 배열을 완성 시키면 된다.

static int dfs(int node, int visited) {
	
	if(visited == (1 << N) - 1) {
		if(map[node][0] == 0) return INF;
		
		return map[node][0];
	}
	// 현재 노드가 방문하여 최솟 값이 정의가 된 경우
	if(dp[node][visited] != INF) {
		return dp[node][visited];
	}
	
	for(int i = 0 ; i < N ; i++) {
		// i번 노드가 방문 한적이 있는 경우, 또는 현재 노드에서 방문할 수 없는 노드
		if((visited & (1 << i)) != 0 || map[node][i] == 0) { continue;}
		
		int next = visited | (1 << i);
		
		dp[node][visited] = Math.min(dp[node][visited], dfs(i, next) + map[node][i]);
	}
	
	return dp[node][visited];
}

 

위의 방법으로 확인을 하고 재귀 형식으로 확인하면 된다.

 

 

<전체코드>

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.Collection;
import java.util.Collections;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;
import java.util.PriorityQueue;
import java.util.Queue;
import java.util.StringTokenizer;

public class Main {
	
	static int N;
	static int[][] map;
	static int[][] dp;
	static final int INF = 16 * 1_000_000;
	static StringBuilder sb = new StringBuilder();

	public static int parseInt(String string) {
		return Integer.parseInt(string);
	}
	
	public static void main(String[] args) throws IOException {
		BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
	
		N = parseInt(br.readLine());
		
		map = new int[N][N];
		
		for(int i = 0 ; i < N ; i++) {
			StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
			for(int j = 0 ; j < N ; j++) {
				map[i][j] = parseInt(st.nextToken());
			}
		}
		
		dp = new int[N][(1 << N) - 1];
		for(int i = 0 ; i < N ; i++) {
			Arrays.fill(dp[i], INF);
		}
		
		System.out.println(dfs(0, 1));
	}
	
	static int dfs(int node, int visited) {
		
		if(visited == (1 << N) - 1) {
			if(map[node][0] == 0) return INF;
			
			return map[node][0];
		}
		
		if(dp[node][visited] != INF) {
			return dp[node][visited];
		}
		
		for(int i = 0 ; i < N ; i++) {
			// 현재 노드가 방문 한적이 있는 경우, 또는 현재 노드에서 방문할 수 없는 노드
			if((visited & (1 << i)) != 0 || map[node][i] == 0) { continue;}
			
			int next = visited | (1 << i);
			
			dp[node][visited] = Math.min(dp[node][visited], dfs(i, next) + map[node][i]);
		}
		
		return dp[node][visited];
	}
}